Norme d'un vecteur

Définition

On appelle norme du vecteur $\overrightarrow{u}$ , notée $\Vert \overrightarrow{u}\Vert$ , la distance $\text{A}\text{B}$ où $\text{A}$ et $\text{B}$ sont les points tels que   $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ .

Propriété
Dans un repère orthonormé, si   $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ , alors  $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ .
Démonstration (idée)

C'est une conséquence directe du théorème de Pythagore. Si on considère les points  $\text{A}(x_{\text{A}};y_{\text{A}})$ et $\text{B}(x_{\text{B}};y_{\text{B}})$ tels que   $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ , il suffit d'appliquer le théorème au triangle $\text{A}\text{B}\text{C}$ , rectangle en  $\text{C}$ , et où  $\text{C}$ a pour coordonnées $(x_{\text{B}};y_{\text{A}})$ .

Exemple

Soit $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)$ , alors  $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{(-2{)}^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$ .